Mille e più motti

 

C O S T A N T E    D I     K A P R E K A R

 

Il numero 6174 è conosciuto come la costante di Kaprekar in onore del matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar che la scoprì. Tale numero possiede la seguente proprietà:

1. Prendere qualsiasi numero di quattro cifre, usandone almeno due differenti (si possono inserire degli zeri anche all’inizio).
2. Posizionare le cifre in ordine decrescente e poi in ordine crescente così da ottenere due numeri di quattro cifre, aggiungendo degli zeri iniziali se necessario.
3. Sottrarre il numero più piccolo da quello più grande.
4. Ripetere il processo partendo dal punto 2.

Il processo sopra descritto, conosciuto come l’operazione di Kaprekar, andrà sempre incontro al suo punto fisso, il 6174, in al massimo 7 iterazioni. Una volta raggiunto il 6174, il processo continuerà a dare 7641 – 1467 = 6174. Per esempio, consideriamo il numero 3524:

5432 – 2345 = 3087

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

Gli unici numeri a quattro cifre che attraverso l’operazione di Kaprekar non raggiungono il 6174 sono i numeri a cifra ripetuta come 1111, che daranno come risultato 0 dopo una singola iterazione. Tutti gli altri numeri a quattro cifre raggiungeranno sempre il 6174 se si aggiungono opportunamente degli zero per mantenere il numero di cifre a 4:

2111 – 1112 = 0999

9990 – 0999 = 8991 (invece che 999 – 999 = 0)

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

9831 raggiunge 6174 dopo 7 iterazioni:

9831 – 1389 = 8442

8442 – 2448 = 5994

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532 (invece che 882 – 288 = 594)

8532 – 2358 = 6174

8774, 8477, 8747, 7748, 7487, 7847, 7784, 4877, 4787, e 4778 si stabilizzano al 6174 dopo 4 iterazioni:

8774 – 4778 = 3996

9963 – 3699 = 6264

6642 – 2466 = 4176

7641 – 1467 = 6174

Da notare che in ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar, i due numeri che vengono coinvolti nella sottrazione possiedono la stessa somma di cifre, cioè 9. Di conseguenza il risultato di ogni iterazione dell’operazione di Kaprekar è sempre un multiplo di 9.